demo001

LaTeX 数学公式示例

基础数学公式

线性方程

$$y=mx+b$$

二次方程

$$a{x}^2+bx+c=0$$

二次公式

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

三角函数

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ $$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

微积分

导数

$$\frac{d}{dx}[x^n]=n{x}^{n-1}$$

积分

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

定积分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

偏导数

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

矩阵和向量

矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

向量

$$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$$

矩阵乘法

$$C=AB=\left(\begin{array}{cc}{\sum }_{k=1}^n{a}_{1k}{b}_{k1}& {\sum }_{k=1}^n{a}_{1k}{b}_{k2}\\ {\sum }_{k=1}^n{a}_{2k}{b}_{k1}& {\sum }_{k=1}^n{a}_{2k}{b}_{k2}\end{array}\right)$$

集合论

集合运算

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}$$ $$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$$

子集

$$A\subseteq B⟺\forall x(x\in A\to x\in B)$$

极限和级数

极限定义

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\forall ϵ>0,\exists \delta >0:0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-L|<ϵ$$

泰勒级数

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

傅里叶级数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)$$

概率统计

正态分布

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

期望值

$$E[X]=\sum _i{x}_i{p}_i$$

方差

$$\text{Var}(X)=E[(X-E[X]{)}^2]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$

图形学

旋转矩阵

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

缩放矩阵

$$S(s_x,s_y)=\left(\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right)$$

变换组合

$$T=T_n\circ T_{n-1}\circ \cdots \circ T_1$$

物理学公式

牛顿第二定律

$$F=ma$$

万有引力

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

薛定谔方程

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$$

爱因斯坦质能方程

$$E=m{c}^2$$

复杂公式示例

多重积分

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)dxdydz$$

偏微分方程

$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

贝塞尔函数

$$J_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (n\theta -x\sin \theta )d\theta$$

伽马函数

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$

LaTeX 语法说明

上标和下标

• 上标：x^2 → $x^2$
• 下标：x_1 → $x_1$
• 同时使用：x_i^2 → $x_i^2$

分数

• 简单分数：\frac{a}{b} → $\frac{a}{b}$
• 复杂分数：\frac{\frac{a}{b}}{c} → $\frac{\frac{a}{b}}{c}$

根号

• 平方根：\sqrt{x} → $\sqrt{x}$
• n次方根：\sqrt[n]{x} → $\sqrt[n]{x}$

求和和积分

• 求和：\sum_{i=1}^n x_i → ${\sum }_{i=1}^n{x}_i$
• 积分：\int_a^b f(x) dx → ${\int }_a^{b}f(x)dx$

矩阵

\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}

多行公式

\begin{align}
f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\
g(x) &= (x+1)^2
\end{align}

图片分析及LaTeX代码

1. 线性回归与最小二乘法


LaTeX代码：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
 
\begin{document}
 
\section*{线性回归与最小二乘法}
 
\subsection*{线性回归模型}
假设我们有 $n$ 个数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$，我们希望找到一条直线 $y = ax + b$ 最好地拟合这些数据。
 
\subsection*{最小二乘法}
最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
$$E = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2$$
 
对 $a$ 和 $b$ 求偏导并令其为零，得到：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial E}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - ax_i - b) = 0 \\
\frac{\partial E}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b) = 0
\end{cases}
$$
 
解得：
$$
\begin{cases}
a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \\
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}
\end{cases}
$$
 
\end{document}

2. 矩阵运算基础


LaTeX代码：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
 
\begin{document}
 
\section*{矩阵运算基础}
 
\subsection*{矩阵乘法}
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则 $C = AB$ 是 $m \times p$ 矩阵，其中：
$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$
 
\subsection*{矩阵乘法示例}
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{pmatrix}
$$
 
\subsection*{行列式}
$2 \times 2$ 行列式：
$$\det \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} = ad - bc$$
 
$3 \times 3$ 行列式：
$$
\det \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
 
\end{document}

3. 正态分布（高斯分布）


LaTeX代码：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
\pgfplotsset{compat=1.18}
 
\begin{document}
 
\section*{正态分布（高斯分布）}
 
\subsection*{概率密度函数}
正态分布的概率密度函数为：
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$
 
其中：
\begin{itemize}
\item $\mu$ 是均值（期望）
\item $\sigma$ 是标准差
\item $\sigma^2$ 是方差
\end{itemize}
 
\subsection*{标准正态分布}
当 $\mu = 0$ 且 $\sigma = 1$ 时，称为标准正态分布：
$$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
 
\subsection*{68-95-99.7法则}
对于正态分布：
\begin{itemize}
\item 约 68\% 的数据落在 $\mu \pm \sigma$ 范围内
\item 约 95\% 的数据落在 $\mu \pm 2\sigma$ 范围内
\item 约 99.7\% 的数据落在 $\mu \pm 3\sigma$ 范围内
\end{itemize}
 
\end{document}

4. 梯度下降算法

LaTeX代码：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
\pgfplotsset{compat=1.18}
 
\begin{document}
 
\section*{梯度下降算法}
 
\subsection*{目标函数}
假设我们要最小化目标函数 $J(\theta)$，其中 $\theta$ 是参数向量。
 
\subsection*{梯度下降更新规则}
参数更新公式：
$$\theta := \theta - \alpha \nabla_\theta J(\theta)$$
 
其中：
\begin{itemize}
\item $\alpha$ 是学习率（learning rate）
\item $\nabla_\theta J(\theta)$ 是目标函数关于参数 $\theta$ 的梯度
\end{itemize}
 
\subsection*{线性回归的梯度下降}
对于线性回归 $h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x$，代价函数为：
$$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$$
 
参数更新：
\begin{align}
\theta_0 &:= \theta_0 - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \\
\theta_1 &:= \theta_1 - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x^{(i)}
\end{align}
 
\subsection*{学习率的选择}
\begin{itemize}
\item 学习率太大：可能震荡或发散
\item 学习率太小：收敛速度慢
\item 可以使用学习率衰减策略
\end{itemize}
 
\end{document}

\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} 34. 求极限 (\lim_{t \to \pi} \frac{\sin mt}{\sin nt}). 解: 原式 (= \lim_{t \to \pi} \frac{m \cdot \cos mt}{n \cdot \cos nt}) (= \lim_{t \to \pi} \frac{m \cdot (-1)^m}{n \cdot (-1)^n}) (= (-1)^{m-n} \cdot \frac{m}{n}) \end{document}