极限

27.求极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n^2+e}+\frac{n}{n^2+2e}+\cdots +\frac{n}{n^2+ne}\right)$.

解：令 $M(n)=\frac{n}{n^2+ne}+\frac{n}{n^2+ne}+\cdots +\frac{n}{n^2+ne}=\frac{n^2}{n^2+ne}$ ,

则 $\underset{n\to \infty }{\lim }M(n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+ne}=1$.

又令 $N(n)=\frac{n}{n^2+e}+\frac{n}{n^2+e}+\cdots +\frac{n}{n^2+e}=\frac{n^2}{n^2+e}$ ,

则 $\underset{n\to \infty }{\lim }N(n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+e}=1$.

由夹逼准则，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }N(n)\le \underset{n\to \infty }{\lim }f(n)\le \underset{n\to \infty }{\lim }M(n)$,

即 $1\le \underset{n\to \infty }{\lim }f(n)\le 1$,

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=1$.

因此，原式 $=1$.